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二年级趣味数学:按遗嘱分马

时间:2013-07-18 21:44来源: 作者: 点击:
有一位老人,他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说:我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分。老人去世后,三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着:我把十七匹马全都留给我的三个儿子。长
   有一位老人,他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说:“我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分。”

    老人去世后,三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着:“我把十七匹马全都留给我的三个儿子。长子得一半,次子得三分之一,给幼子九分之一。不许流血,不许杀马。你们必须遵从父亲的遗愿!”

    这三个兄弟迷惑不解。尽管他们在学校里学习成绩都不错,可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9,又不让马流血。于是他们就去请教当地一位公认的智者。这位智者看了遗嘱以后说:“我借给你们一匹马,去按你们父亲的遗愿分吧!”

    老人原有17匹马,加上智者借给的一匹,一共18匹。于是三兄弟按照18匹马的一半、三分之一和九分之一,分别得到了九匹、六匹和两匹。9+6+2=17(匹)。还剩下一匹,是智者借给的那匹,还给智者。

    到这儿,这个故事就结束了。

    不同意这种结果的同学的意见在于:遗嘱所说的一半、三分之一和九分之一,都是相对于17匹马来说的,并不是对18匹马来说的,因而智者把自己的一匹马借给三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分,不符合遗嘱原意。

    笔者认为,这部分同学之所以不同意故事的结局,是由于对遗嘱的要求掌握得不够全面造成的。笔者要说明,智者的办法确实是个好办法。遗嘱没有错;智者的办法也不光是一个智力游戏,在数学上也是完全合理的。

    为此,我们先指出一个事实,即:

         1/2+1/3+1/9=17/18<1

    这就是说:假设姑且不考虑老人关于不许流血、不许杀马的要求,硬把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个兄弟,那么,并没有把17匹马全部分完,还剩下17匹马的1/18没有分。

    于是我们要考虑一个问题:老人的遗嘱是只把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个儿子吗?如果是,那么剩下的17/18匹给谁呢?

    按遗嘱中关于把17匹马全部留给三个儿子的要求,剩下的这些马还应继续分给三兄弟,而且还应该给老大一半,给老二三分之一,给老三九分之一,而且任何有限次总也无法把17匹马全部分完。

    仔细研究老人的遗嘱可以发现,老人的遗嘱实际上包含三点要求:第一,把17匹马全部都分给三个儿子;第二,每给老大一半,就要给老二三分之一、给老三九分之一,所以实际上是要按照1/2∶1/3∶1/9这样的比例进行分配,而不是只把17匹马的1/2,1/3,1/9分给三个儿子;第三,不许让马流血。

    一个分配方案,只要满足上述条件,就是符合遗嘱要求的方案。

    老人自己家有17匹马,加上智者借给的一匹,一共十八匹马。按18匹马的1/2, 1/3,1/9分给三个兄弟,三个兄弟所得的马的匹数当然符合1/2∶1/3∶1/9的比例(符合上述第二条要求),而三个兄弟分别得到的9匹、6匹和2匹之和,恰好是17匹(符合上述第一条要求),又没让马流血(符合上述第三条要求),所以智者的办法是完全符合老人遗嘱要求的。

    不借用智者的一匹马也可以执行老人的遗嘱。为此,把1/2∶1/3∶1/9化简可得   9∶6∶2, 恰好有9+6+2=17。可见,分给长子9匹、次子6匹、幼子2匹,既恰好把17匹马全都分完,又符合1/2∶1/3∶1/9的比例,又没有让马流血,所以完全合乎老人遗嘱的要求。

    还用一种不借用智者的一匹马也能执行老人遗嘱的办法:

    假如先不考虑老人关于不许杀马的要求,而硬把17匹马的一半、三分之一和九分之一分别分给三兄弟,完成第一次分配;第一次分配后剩下一部分马,再把剩下的这部分马的一半、三分之一和九分之一分别分给三兄弟,完成第二次分配;第二次分配后还剩下一部分,再把剩下的这部分马的一半、三分之一和九分之一分别分给三兄弟,完成第三次分配。照此办理,任何有限次分配总不能把17匹马全部分完。而无穷无尽地分下去,三个兄弟所分得的马各是一个无穷级数的和,或者说各是一个无穷递缩等比数列各项的和。这三个无穷递缩等比数列的首项分别是17/2,    17/3,17/9,公比都是1/18,按照无穷递缩等比数列的各项和公式可以算出,三兄弟每人分得的马分别为:9匹,6匹,2匹。        
 
    先进行分析和计算,不要认真地动刀进行一次又一次的分配,等到算出了三兄弟每人经过无穷无尽、一次又一次的分配后所分别能够得到的马的总匹数后再统一一次性地分配,就既用不着杀马,又恰好把17匹马全部按老人的遗嘱所规定的比例分完,不拆不扣地执行了老人的遗嘱。

    从上面几种解法来看,智者的办法计算起来比较简单,因而确实称得上是一种十分巧妙的办法。

    分马的故事,据说已经在全世界流传上千年之久了。在流传过程中有一些变化。例如,有一本书讲到这个故事时,讲的就是老人共有十九匹马,遗嘱要求分给长子二分之一,分给次子四分之一,分给幼子五分之一。处理办法也是从别人家借来一匹马,分完再还给人家。

    张景中老师所著《数学传奇》一书指出,像上面这样改变一下数字的,一共可以有七种变化,就是说,这个故事可以有七种讲法。如果在每一种讲法中把马的总匹数记为n ,把三兄弟分得的比例记为1/X∶1/Y∶1/Z, 则可以列表如下: 

讲法
   ①
   ②
   ③
   ④
   ⑤
   ⑥
   ⑦
   
X
   
2
   
2
   
2
   
2
   
2
   
2
   
2
   
Y
   
3
   
3
   
3
   
3
   
4
   
4
   
4
   
Z
   
7
   
8
   
9
   
12
   
5
   
6
   
8
   
n
   
41
   
23
   
17
   
11
   
19
   
11
   
7

    上述七种讲法都是关于可以用“借来一匹马,按规定的比例分配后恰好剩下一匹,再还回去”的办法来解的。按本节前面所述,这些讲法都是合理的。

    笔者还听到过这样一种讲法:老人共有十七匹马,临终前他留下遗嘱说把一半给长子;长子取走后,把剩下的一半给次子;次子取走后把剩下的一半给幼子。 遗嘱也要求把十七匹马都分给三个儿子,而且不许杀马.

    答案说:先从邻居家借来一匹马,变成18匹,老大取走一半(即9匹),还剩9匹。然后再从邻居家借来一匹马,变成10匹,老二取走一半(即5匹),还剩5匹。然后又从邻居家借来一匹马,变成6匹,老三取走一半(即3匹)。最后剩下3匹还给邻居。

    这种讲法也很有趣,可是在笔者看来,这种讲法在数学上就不如上面列出的七种讲法那么合理了;虽然也把17匹马都分给了三个儿子,而且没有杀马,但是三次借马凑出三个二分之一,很难说是符合遗嘱要求的。因而这种讲法只能算是一个智力游戏,算不上真正的数学。

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