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二年级趣味数学: 暗室取物

时间:2013-07-18 21:45来源: 作者: 点击:
置于暗室中的一只抽屉内装有100只红色袜子,80只绿色袜子,60只蓝色袜子和40只黑色袜子.一个少年从抽屉中选取袜子,每次取出一只,但无法看到所取袜子的颜色.为了确保取出的袜子中至少包含有10双,最少必须取出几

  置于暗室中的一只抽屉内装有100只红色袜子,80只绿色袜子,60只蓝色袜子和40只黑色袜子.一个少年从抽屉中选取袜子,每次取出一只,但无法看到所取袜子的颜色.为了确保取出的袜子中至少包含有10双,最少必须取出几只袜子?(一双袜子是指两只相同颜色的袜子,但每只袜子只能一次用在一双之中):

  (A)21(B)23(C)24(D)30(E)50

  这个问题虽然是中学生数学竞赛中的试题,但解决它并不一定用中学的数学方法,实际上,只有小学的数学知识,也能解答.现在就来研究它的解答方法--复杂问题简单化.

  解:我们可以这样来考虑:

  (1)为使取出的袜子中,要能确保含有10双,因此我们需要考虑最不利的情况.

  (2)先把问题简单化

  ①如只需确保取出的袜子中含有一双,则显然需最少取出4+1=5只.因为先取出的4只,为各种颜色的各一只(最不利的情况),再取一只即可确保有一双袜子.

  ②如需确保取出的袜子中含有2双,则由①可知,取出5只,已确保含有一双袜子,因此只需再取出2只,又可以确保含有一双袜子--取出的第一只为①中确保有一双袜子的颜色,从而再取一只袜子,就一定能确保再有一双袜子.

  综上所述,为确保取出2又,最少需取出5+2=7只.

  (3)从②的分析求解中,极易启发归纳出本题的解答:最少需取出5+2×(10-1)=23只,即可保证取出的袜子中,至少包含有10双袜子.

  所以本题应选(B).

  现在来研究下面一个类似问题.

  在一个袋子里装有若干个大小相同的小球,仅仅颜色有别.其中红色的9个,兰色的13个,黑色的19个,白色的21个.如果蒙上你的眼睛,要你摸出若干个球来,那么你必须摸出多少个,才能保证至少有14个同色的小球?

  解:我们从最不利的情况去着想.

  (1)假若前9个都摸到的是红色小球.因题目要摸出14个同色小球,而红色小球只有9个,所以这9个球对达到要求不起作用.

  (2)假若再继续摸出的13个小球又都是兰色的,而兰色小球只有13个,题目要求摸出14个同色小球,所以这13个兰色小球对要求也不起作用.这样,一共摸出了22个小球.

  (3)再继续摸出的小球则或是黑色的或是白色的,二者必居其一.又从最不利的情况考虑:假如先摸出的26个小球,黑色的13个,白色的13个,最后再摸出1个小球,那么不管是黑色或是白色,都能达到保证有14个同色小球了.

  综上所述,一共要摸出:

  9+13+13×2+1=49(个)

  才能保证至少有14个同色的小球.

  再研究一个类似的有趣的问题:

  有三个带盖的粉笔盒,每个盒里都装有两根粉笔.只知道其中的一个盒里装有两根白色粉笔,一个盒里装有两根红色粉笔,一个盒里装有一根白色和一根红色粉笔.粉笔盒外的标记有"白、红","白、白","红、红",但与里面装的粉笔颜色全都不符.要求只能从其中的一个粉笔盒里取出一根来看,用这办法搞清楚每个盒里所装的粉笔的颜色,至少要几次?为什么?

  解:只需要取一次.

  验看标有"白、红"那一盒,若拿出一根是白色的,可判断这盒是"白、白"的(因为标记写错了,不可能是"白、红"的).于是标有"红、红"的一定是"红、白",而另一盒为"红、红".

  若拿出一根是红色的,同样道理也可以依次判断出来.

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