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经典数学:比贝尔巴赫猜想

时间:2013-07-18 22:00来源: 作者: 点击:
中学数学知识的人都知道 函数 这一重要概念.一般地,可用符号y=f(x)表示函数,x与y表示变量,f表示x与y之间的变化的关系.当x取某一确定的值,就可以得到一个确定的y值.如果x只取实数值,得到的y值也是实数值,那

中学数学知识的人都知道“函数”这一重要概念.一般地,可用符号y=f(x)表示函数,x与y表示变量,f表示x与y之间的变化的关系.当x取某一确定的值,就可以得到一个确定的y值.如果x只取实数值,得到的y值也是实数值,那么就称y=f(x)为一个实函数.如果x可取复数值,y得到的也可以是复数,那么这函数就称为复变函数或简称复函数.为了与实函数相区别,复函数通常记为z=f(z).可求导数的复函数叫解析函数.

假设R为复平面C中的一个区域,若对R中任意两个不同的点z1,z2有f(z1)≠f(z2),则称f(z)在R上是单叶的.进一步,若在单位圆D={z∈C:|z|<1}中有f'(z)≠0,则称f(z)单叶正则.如果加上规范条件f(0)= 0及f'(0)= 1,f(z)按Taylor级数展开得f(z)=z+a2z2+…+anzn+…,|z|<1这种函数的全体称为正规族,记为S.

在S中扮演重要角色的是Koebe函数

若θ为任意实数,则e-iθK(eiθz)∈S,且将单位圆映到全平面除去由 数的一个旋转.

1916年,德国数学家比贝尔巴赫研究S中的函数f(z),发现其系数具有一个共同的性质:|a1|≤1,|a2|≤2,……,由此他猜想:有|an|≤n,且这个界限只能被Koebe函数的旋转所达到.这就是著名的比贝尔巴赫猜想.

 

 

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